학교에서 배우던 삼각형, 정사각형, 원뿔같은 다양한 도형들. 수업에서 배우던 이러한 도형들은 아름답긴 하지만 우리가 살고 있는 세상의 물체들과는 약간의 거리가 있어보인다. 산은 원뿔모양과 비슷해보이지만 자세히 보면 다르고, 구름은 타원의 모양과 비슷하지만 또 자세히 보면 다르다. 자연은 초등학교 수학시간에 배우던 기하학 만으로 표현하기 힘든 무언가가 있다. 우리는 자연의 물체를 수학적으로 표현하기 보다는, 가상의 도형에 자연을 끼워맞추고 있다.
자연의 도형은 수학적으로 읽어낼 수 없는걸까? 이러한 생각에 빠져있던 만델브로트는 자연을 그대로 읽어낼 수 있는 수학인 '프랙탈'을 창조해내게 된다. 이는 기존 기하학 그 자체로 불리던 '유클리드'를 비웃는 일이라며 학계에서 그를 무시했지만, 컴퓨터가 발달하고 세상이 카오스 이론에 눈을 뜨게 되면서 그의 연구결과도 함께 빛을 보게 되어 전 세계에 그의 이론과 이름이 알려지게 된다.
프랙탈이란 자기유사성을 갖는 기하학적 구조를 뜻한다. 어떤 도형의 작은 일부를 확대했을 때 그 도형의 전체 모습이 똑같이 반복되는 도형에 대한 연구를 이야기한다. 즉, 현실에서 복잡하고 신비로운 아름다움을 가진 물체들이 사실 너무나도 단순한 것에서부터출발하고 있다는 뜻이다. 이를 이용해 인간의 몸이나 생활 속에서 일어나는 어떤 현상들까지도 읽어내고 해석하며 실용적인 용도로도 사용되며, 수학을 넘어 철학적인 영역으로까지 큰 영향을 미치고 있다.
겨울의 아름다움을 상징하는 눈송이도 프랙탈 도형으로 표현할 수 있다. 프랙탈도형을 대표하는 작품으로 코흐의 눈송이가 있다. 신비롭고 아름다운 코흐의 눈송이는, 매우 간단한 정삼각형으로부터 시작된다. 정삼각형의 각 변을 3등분하여, 그 중심에 삼각형을 계속해서 그려나가다 보면 넓이는 유한하지만 둘레는 무한한 기묘한 도형이 만들어지게 된다. 이러한 코흐의 눈송이는 1차원도, 2차원도 아닌 1.26차원을 가지고 있다.
1.26차원? 우리는 수학에서 1,2,3같은 정수차원만 들어봤지만, 이렇게 넓이는 유한하지만 둘레는 무한한 프랙탈 도형에서는 정수차원이 아닌 실수차원을 갖게 된다. 차원을 구하는 공식은 도형을 원래 도형과 (수학적으로)닮은 도형을 만들기 위해 r번 잘랐을 때, 닮은 도형 N개가 나온다 하면 그 도형의 차원 D는 아래와 같은 수식으로 계산된다.
D = log(r)N
우리가 기존 수학시간에 배우던 유클리드 기하학에서의 선은 r=2, N=2로 1차원을 갖게 되고, 정사각형은 2차원, 정육면체는 3차원을 갖게 되지만, 현실속에서의 리아스식 해안선은 1.33차원, 뭉게구름은 1.35차원, 사람의 뇌는 2.75차원의 D값을 갖게 된다.
이렇게 자연은 신비롭고 아름답지만 그 속을 보면 정말 간단한 프랙탈로 이루어져 있다. 이 프랙탈로 파킨슨병의 환자의 상태도 쉽게 관측할 수 있고, 치매환자의 치매유형도 분석해낼 수 있다. 인간의 머리로는 이해할 수 없을것 같았던 복잡한 일들에서 프랙탈 패턴을 관측하게 되고, 그것으로 인해 문제를 상대적으로 쉽게 해결할 수 있게 된 것이다. 아직도 이해하기 힘들지만 묘한 매력을 갖고 있는 프랙탈, 알면 알수록 흥미가 생긴다. 나라는 프랙탈 도형이 아름다워 질 수 있게 나의 근본 습관을 더 갈고 닦아야겠다.
만델브로트가 들려주는 프랙탈 이야기 - 교보문고
자연에 대한 새로운 시선, 세상에서 가장 아름다운 자연과 예술 생활 속 깊숙이 새겨진 프랙탈 이야기! 수학의 기본개념을 파헤친『수학자가 들려주는 수학이야기』시리즈 6권《만델브로트가 �
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